INT-Zahlenkreis – Zweierkomplement

Der Zahlenkreis

Eine INT-Zahl besteht aus 16 Bit und kann damit 2¹⁶ = 65536 verschiedene Bitmuster annehmen. Diese Bitmuster lassen sich wie die Zahlen auf einer Uhr im Kreis anordnen: Oben steht die 0. Im Uhrzeigersinn folgen die positiven Zahlen, unten schliessen die negativen Zahlen an und laufen von links wieder zur 0 hinauf.

Zum Einstieg zeigt das 4-Bit-Modell alle 16 Positionen: 0, 1, 2 … 7, dann −8, −7 … −1 und wieder 0. Mit den Schaltflächen oben kannst du auf 8 Bit (SINT) und 16 Bit (INT) umschalten – das Prinzip bleibt identisch.

positiv (Vorzeichenbit 0) negativ (Vorzeichenbit 1) Überlauf-Naht

Dezimal (mit Vorzeichen)

Bitmuster ohne Vorzeichen

16#0

Hex

4 Bit

Datentyp

−8Wert einstellen+7

So wird die Zahl gespeichert

Unter dem Kreis siehst du das Bitmuster. Du kannst einzelne Bits anklicken – der Zeiger wandert sofort an die passende Position.

Das höchste Bit = Vorzeichenbit

Bit 15 = 0 → Zahl ist 0 oder positiv
Bit 15 = 1 → Zahl ist negativ
Es ist aber kein «Minus-Schalter»: das Bit hat das Gewicht −32768

Wertigkeit der Bits

Bit 0 … 14: Gewichte 1, 2, 4 … 16384
Bit 15: Gewicht −32768
Wert = Summe der Gewichte aller gesetzten Bits

Merke: Ein Schritt im Uhrzeigersinn ist immer +1 (Bitmuster um 1 erhöhen), ein Schritt dagegen −1. Nach dem grössten positiven Wert folgt direkt der kleinste negative – der Zeiger läuft über die rote Naht.

Einerkomplement und Zweierkomplement

Wie macht die SPS aus +5 die Zahl −5? Dafür gibt es zwei Verfahren, die beide auf dem Invertieren der Bits beruhen.

Einerkomplement

Alle Bits invertieren (NOT)
Ergebnis: −x − 1
Es gibt zwei Nullen (+0 und −0)
Wird für INT nicht als Zahlendarstellung verwendet

Zweierkomplement

Einerkomplement + 1
Ergebnis: −x
Es gibt nur eine Null
Darstellung der negativen Zahlen bei SINT, INT und DINT

Schritt für Schritt: Vorzeichen wechseln

x ~x (Einerkomplement) −x (Zweierkomplement)

1Positive Zahl x wählen: 37

Im Zahlenkreis: Das Vorzeichenwechseln ist eine Spiegelung. Das Einerkomplement spiegelt an der Achse durch die beiden Nähte (oben zwischen −1 und 0, unten zwischen MAX und MIN). Das anschliessende +1 schiebt den Zeiger einen Schritt weiter – das entspricht der Spiegelung an der Achse durch 0 und MIN.

Alle 16 Bitmuster im Vergleich (4 Bit)

Bitmuster	Ohne Vorzeichen	Einerkomplement-Darstellung	Zweierkomplement (S7)

Beim Einerkomplement gibt es zwei Nullen (0000 und 1111) und damit nur 15 verschiedene Zahlen. Das Zweierkomplement nutzt alle 16 Muster – deshalb gibt es genau einen negativen Wert mehr als positive.

Warum Zweierkomplement? Subtrahieren durch Addieren

Das Rechenwerk muss nur addieren können. Eine Subtraktion ist die Addition des Zweierkomplements. Beispiel im 4-Bit-Modell: 5 − 3 = 5 + (−3)

+5	0101
−3 (Zweierkomplement von 3)	1101
Summe	1 0010
Übertrag fällt weg → Ergebnis	0010 = +2

Im Kreis: Von der 5 aus gehst du 13 Schritte im Uhrzeigersinn (−3 entspricht Position 13). Du läufst über die Naht und landest bei +2 – genau so, als wärst du 3 Schritte zurückgegangen.

Grenzen des Datentyps INT

Eigenschaft	INT
Grösse	16 Bit = 1 Wort = 2 Byte
Anzahl Bitmuster	2¹⁶ = 65536
Wertebereich	−32768 … +32767
Bitmuster (hex)	16#8000 … 16#7FFF
Vorzeichenbit	Bit 15 (Gewicht −32768)
Negative Zahlen	−1 … −32768 → 32768 Werte
Null und positive Zahlen	0 … +32767 → 32768 Werte

Warum gibt es −32768, aber kein +32768? Die Null braucht ebenfalls ein Bitmuster (alle Bits 0) und liegt auf der Seite mit Vorzeichenbit 0. Damit bleiben für die positive Seite nur 32767 Zahlen, die negative Seite hat 32768.

Wichtige Werte

Dezimal	Binär (16 Bit)	Hex	Bemerkung
0	0000 0000 0000 0000	16#0000	Alle Bits 0
+1	0000 0000 0000 0001	16#0001
+32767	0111 1111 1111 1111	16#7FFF	Grösster Wert
−32768	1000 0000 0000 0000	16#8000	Kleinster Wert
−2	1111 1111 1111 1110	16#FFFE
−1	1111 1111 1111 1111	16#FFFF	Alle Bits 1

Überlauf

Im Zahlenkreis steht +32767 direkt neben −32768. Wird zu +32767 eine 1 addiert, läuft der Zeiger über die rote Naht und landet bei −32768. Umgekehrt führt −32768 − 1 auf +32767.

Ein Ergebnis ausserhalb des Wertebereichs ist ein Überlauf und darf nicht weiterverwendet werden. Bei Zählern deshalb die Grenze vor dem Hochzählen prüfen. Bei Bedarf einen grösseren Datentyp (DINT) verwenden.

Sonderfall −32768: Die Spiegelachse des Zweierkomplements geht durch 0 und −32768. Diese beiden Werte werden auf sich selbst gespiegelt: −(−32768) ergibt im 16-Bit-Raum nicht +32768, sondern wieder −32768 – diese Zahl hat keinen positiven Partner.

Vergleich ganzzahliger Datentypen mit Vorzeichen

Datentyp	Bit	Wertebereich
SInt	8	−128 … +127
Int	16	−32’768 … +32’767
DInt	32	−2’147’483’648 … +2’147’483’647

INT-Zahlenkreis – Aufbau der INT-Zahl, Einer- und Zweierkomplement